Cents, potencias y logaritmos

Los cents se basan en el concepto matemático de los logaritmos. Los logaritmos fueron introducidos por el matemático escocés John Napier (1550/4-1617). El nombre viene de logos (razón) y arithmós (número). Los logaritmos se relacionan a las potencias. ¿Qué son las potencias?

Dos elevado a la tercera potencia o \( 2^3 \) (decimos dos a la tres) equivale a multiplicar 1 x 2 x 2 x 2:

\( 2^3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8 \)

Dos a la cuarta potencia:

\( 2^4 = 1 * 2 * 2 * 2 * 2 = 16 \)

Un ejemplo que puede crear confusión pero que explica porque el 1 precede a los 2:

\( 2^0 = 1 \) (1 multiplicado por ningún 2)

Luego de entender las potencias, la siguiente imagen ilustra su relación con los logaritmos:

Vemos que 2, elevado a la tercera potencia es igual a 8 (\( 2^3 = 8 \)). El logaritmo nos indica la potencia a la que debemos elevar 2 para obtener 8. La segunda línea se lee: logaritmo base 2 de 8 = 3. En otras palabras: ¿a qué potencia tenemos que elevar 2 (base 2) para obtener 8? La respuesta es 3.

En música, utilizamos los logaritmos base 2 porque las octavas usan esta base de forma natural. Para averiguar la frecuencia de una nota a la distancia de una octava, debemos multiplicar la frecuencia de la primera nota por dos. Partiendo de un C2 con 60 Hz. obtenemos la frecuencia del C3 de esta forma:

\[ C3 = 60 * 2 = 120 \]

Para llegar a C4, multiplicamos por 2, dos veces:

\[ C4 = 60 * 2 * 2 = 240 \]

O podemos usar las potencias:

\[ C4 = 60 * 2^2 = 60 * 4 = 240 \]

La potencia que se use determina el número de octavas a subir:

Nota Octavas Potencia Frecuencia
\[ C2 \] 0 0\[ 2^0 = 1 \] 60 Hz. \[ 60 * 2^0 = 60 * 1 = 60 \]
\[ C3 \] +1 1\[ 2^1 = 2 \] 120 Hz.\[ C3 = C2 * 2^1 = 60 * 2 = 120 \]
\[ C4 \] +2 2\[ 2^2 = 4 \] 240 Hz.\[ C4 = C2 * 2^2 = 60 * 4 = 240 \]
\[ C5 \] +3 3\[ 2^3 = 8 \] 480 Hz.\[ C5 = C2 * 2^3 = 60 * 8 = 480 \]

Examinemos esto ahora usando logaritmos:

\( 480 / 120 = 4 \)

\( log_2(4) = 2 \)

\( 120 * 2^2 = 480 \)

Podemos llegar al mismo resultado restando las potencias. La potencia necesaria para llegar al C5 desde C2 es 3 (vea la tabla anterior), la del C3 1. Si restamos 3 - 1 obtenemos 2. El mismo resultado que obtuvimos con \( log_2(4) = 2 \).

Sin quererlo, hemos casi llegado a la fórmula de Ellis para calcular los cents:

dividimos las frecuencias de las notas y buscamos el logaritmo base 2 del resultado.

Sólo falta un pequeño detalle que veremos en la próxima sección.

Todo esto puede resultar confuso. Es como un laberinto de espejos en el que nos perdemos fácilmente. Debe recorrerlo muchas veces, con mucha paciencia y poco a poco se irá orientando...

Resumamos los conceptos matemáticos aprendidos:

Potencias: \( \color{red}2 \color{blue}^3 \color{black}= 1 * 2 * 2 * 2 = \color{green}8 \) Multiplicamos 1 por 2 tres veces
Logaritmos: \( log\color{red}_2 \color{black} ( \color{green}8 \color{black} ) = \color{blue}3 \) ¿A qué potencia debo elevar 2 para obtener 8?

¡Si puede pasar de potencia a logaritmos y viceversa, puede considerar entendido el concepto!

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