He aquí un círculo. Vamos a añadir un plano cartesiano para poder orientarnos dentro de un plano de dos dimensiones...
El plano cartesiano que usamos le da al círculo un radio de una unidad y nos permite identificar las coordenadas de su origen y 4 puntos. ¿Cómo podemos encontrar las coordenadas de otros puntos?
Desde los antiguos egipcios (2,000 años antes de la era común), sabemos que la relación entre la circunferencia y el diametro de cualquier círculo es 3.1416... (mejor conocido por PI o π, los puntos suspensivos indican que este número se extiende infinitamente):
\[ \frac{circunferencia}{diametro} \approx 3.1416 \]El diametro de este círculo va del punto (-1,0) al punto (1,0) por lo que su diametro es igual a 2. Podemos entonces calcular el tamaño de su circunferencia:
\[ \frac{c}{2} \approx 3.1416 \] \[ c \approx 3.1416 * 2 \]O sea, que la circunferencia de nuestro círculo equivale a:
\[ c = 2\pi \]El cálculo anterior nos permite determinar el largo de la circunferencia en cada uno de los puntos identificados (moviéndonos en el sentido contrario a las agujas del reloj).
Del triángulo recto que hemos dibujado dentro del círculo, sabemos:
Un círculo se divide en 360 grados. Por lo tanto cada cuadrante del plano cartesiano equivale a 90 grados. El triángulo que hemos dibujado divide el cuadrante I en dos partes iguales, por lo tanto el ángulo es de 45°.
Usando el teorema de Pitágoras, podemos calcular el tamaño de los catetos (x):
\[ x^2+x^2=1^2 \] \[ 2x^2=1 \] \[ x^2=\frac{1}{2} \] \[ x=\frac{\sqrt1}{\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} * \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \]El lado de los catetos nos da las coordenadas del punto en la circunferencia y otros 3 puntos en los demás cuadrantes.
Este otro triángulo nos ayudará a encontrar puntos adicionales. ¿Qué conocemos de este triángulo?
¿Cómo averiguamos el tamaño de sus catetos?
Con la hipotenusa y el lado inferior podemos calcular el lado que falta (x):
\[ 1^2 = x^2 + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \] \[ 1 = x^2 + \frac{1}{4} \] \[ x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ x = \frac{\sqrt3}{\sqrt4} = \frac{\sqrt3}{2}\]Los tamaños de los lados dan las coordenadas de un nuevo punto en la circunferencia.
El tamaño de los lados del triángulo con ángulo de 60° nos da el tamaño de un triángulo con ángulo de 30° y obtenemos las coordenadas de un punto adicional.
Podemos llevar estas 2 nuevas coordenadas a los demás cuadrantes.
Hemos encontrados un total de 16 coordenadas de puntos del círculo.
Las funciones trigonométricas surgen de las razones matemáticas entre los diferentes lados de un triángulo. Por ejemplo, el seno de 60° se obtiene dividiendo el lado opuesto entre la hipotenusa. Al calcular el seno, obtenemos la coordenada y:
\[ sin(60^o) = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{1} = \frac{\sqrt3}{2} = y \]Si dividimos el lado adyacente entre la hipotenusa, obtenemos el coseno del ángulo y la coordenada x:
\[ cos(60^o) = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} = x \]Podemos calcular las coordenadas correspondientes a un punto de la circunferencia usando el coseno para la x y el seno para la y.
Esta fórmula nos permite calcular cada uno de los puntos de un círculo:
\[ x = radio * cos(grados) \] \[ y = radio * sin(grados) \]Vamos a calcular 360 puntos de un círculo con origen (0, 0) y radio de 3....
Si trazamos los valores que obtenemos del seno de los grados 0 a 360 moviéndonos horizontalemente obtenemos una onda sisousoidal (término relacionado a la función trigonométrica del seno).
El periodo (tiempo en el que completa un ciclo) es de 2π al igual que en el círculo.
Si hacemos lo mismo usando la función de coseno, obtenemos una onda sinusoidal, desfasada 90° o π/2.